Izogeometryczna metoda elementow skonczonych
Formalne definicje referencyjnego jedno i dwu-wymiarowego izogeometrycznego elementu skończonego różnią się od elementów klasycznych jedynie funkcjami kształtu oraz wyborem węzłów. Funkcje kształtu dla elementów izogeometrycznych zdefiniowane są w taki sposób, żeby możliwe było ich zsumowanie w globalne funkcje bazowe B-spline. Cały pozostały formalizm matematyczny opisany w tym rozdziale pozostaje w mocy, jeśli zamienimy klasyczne elementy elementami izogeometrycznymi. Dla elementów izogeometrycznych stopnia \( p \), konieczne jest zdefiniowanie stosownej liczby węzłów, konkretnie \( (p+1) \) w jednym wymiarze oraz \( (p+1)^2 \) w dwóch wymiarach, oraz podanie wzorów na stosowne funkcje kształtu. Dla analizy izogeometrycznej różni się też konkretny przepis na odwzorowanie definiujące składanie lokalnych funkcji kształtu na globalne funkcje bazowe nad siatką obliczeniową. W inny sposób składa się z lokalnych funkcji kształtu globalne funkcje bazowe Lagrange'a, a w inny sposób składa się z lokalnych funkcji kształtu globalne funkcje bazowe B-spline. Poniżej dla przykładu podajemy definicje jedno i dwu-wymiarowego referencyjnego izogeometrycznego elementu skończonego stopnia drugiego, dla których podane funkcje kształtu można zsumować w funkcje B-spline drugiego stopnia o ciągłości \( C^1 \). Klasyczne elementy skończone mają lokalne funkcje kształtu, które dla odróżnienia poskładać można w globalne funkcje bazowe Lagrange'a. Na przykład dla elementów drugiego stopnia \( p=2 \), lokalne funkcje kształtu składają się w funkcje bazowe drugiego stopnia o ciągłości \( C^1 \) nad wnętrzami poszczególnych elementów skończonych, jednakże na interfejsach pomiędzy elementami (nad wierzchołkami w jednym wymiarze lub nad krawędziami w dwóch wymiarach) mają one ciągłość \( C^0 \).
Jednowymiarowym referencyjnym izogeometrycznym elementem skończonym stopnia drugiego nazywamy czwórkę
\( \left( \hat{K}, X\left(\hat{K}\right), \Pi_p \right) \)
zdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków
- Geometria: \( \hat{K}=[0,1] \subset {\cal R} \)
- Wybór węzłów: \( \hat{a}_1, \hat{a}_2 \) węzły związane z wierzchołkami 0 i 1 elementu oraz \( \hat{a}_3 \) węzeł związany z wnętrzem (0,1) elementu
- Definicja funkcji kształtu elementu \( X \left( \hat{K}\right)=span \{ \hat{\chi}_j \in {\cal P}^p\left(\hat{K}\right),j=1,...,3 \} \) gdzie \( {\cal P}^p\left(\hat{K}\right) \) to wielomiany stopnia \( p \) określone na przedziale \( \hat{K} =(0,1) \) oraz \( \hat{\chi}_1(\xi)=\frac{1}{2}(1-\xi)^2 \), \( \hat{\chi}_2(\xi)=\frac{1}{2}\xi^2 \), \( \hat{\chi}_3(\xi)=-\xi^2+x+\frac{1}{2} \).
- Definicja operatora interpolacji przez projekcję \( \Pi_p:H^1\left( \hat{K} \right) \rightarrow X\left( \hat{K}\right) \). Dla danej funkcji \( u \in H^1\left(\hat{K} \right) \), jej interpolant bazujący na projekcji to \( \Pi_pu\in X\left( \hat{K}\right) \) jest zdefiniowany poprzez następujące warunki:
\( \Pi_p u(\hat{a}_1)=u(\hat{a}_1) \)
\( \Pi_p u(\hat{a}_2)=u(\hat{a}_2) \)
\( \| \left( \Pi_p u \right)' -u' \|_{H^1(0,1)}\rightarrow min \)
gdzie \( \| \left( \Pi_p u \right)' -u' \|_{H^1(0,1)} = \int_0^1 \left( \left( \Pi_p u \right)' -u' \right)^2 d\xi \) to norma w przestrzeni Sobolewa \( H^1(0,1) \).
Dwuwymiarowym referencyjnym izogeometrycznym elementem skończonym stopnia drugiego nazywamy czwórkę
\( \left( \hat{K}, X\left(\hat{K}\right), \Pi_p \right) \)
zdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków
- Geometria: \( \hat{K}=[0,1]^2 \subset {\cal R}^2 \)
- Wybór węzłów: \( \hat{a}_1, \hat{a}_2, \hat{a}_3, \hat{a}_4, \) węzły związane z wierzchołkami elementu (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), \( \hat{a}_5, \hat{a}_6, \hat{a}_7, \hat{a}_8 \) węzły związane z krawędziami elementu, oraz \( \hat{a}_9 \) węzeł związany z wnętrzem elementu.
- Definicja funkcji kształtu elementu \( X \left( \hat{K}\right)=span \{ \hat{\chi}_j \in {\cal S}^{(2,2)}\left(\hat{K}\right),j=1,...,9 \} \) gdzie \( {\cal S}^{(2,2)}\left(\hat{K}\right) \) to wielomiany stopnia drugiego względem zmiennej \( \xi_1 \) oraz względem zmiennej \( \xi_2 \), określone na \( \hat{K}=[0,1]^2 \). Definiujemy funkcje kształtu \( \hat{\phi}_1(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_1(\xi_1)\hat{\chi}_1(\xi_2) \), \( \hat{\phi}_2(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_2(\xi_1)\hat{\chi}_1(\xi_2) \), \( \hat{\phi}_3(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_2(\xi_1)\hat{\chi}_2(\xi_2) \), \( \hat{\phi}_3(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_1(\xi_1)\hat{\chi}_2(\xi_2) \), \( \hat{\phi}_{5,2}(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_{3}(\xi_1)\hat{\chi}_1(\xi_2) \), \( \hat{\phi}_{6,2}(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_2(\xi_1)\hat{\chi}_{3}(\xi_2) \), \( \hat{\phi}_{7}(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_{3}(\xi_1)\hat{\chi}_2(\xi_2) \), \( \hat{\phi}_{8}(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_1(\xi_1)\hat{\chi}_{3}(\xi_2) \), \( \hat{\phi}_{9}(\xi_1,\xi_2)=\hat{\chi}_{3}(\xi_1)\hat{\chi}_{3}(\xi_2) \).
- Definicja operatora interpolacji bazującego na projekcji \( \Pi_p:H^1\left( \hat{K} \right) \rightarrow X\left( \hat{K}\right) \). Dla danej funkcji \( u \in H^1\left(\hat{K} \right) \), jej interpolant bazujący na projekcji to \( \Pi_pu\in X\left( \hat{K}\right) \) jest zdefiniowany poprzez następujące warunki:
\( \Pi_p u(0,0)=u(0,0) \)
\( \Pi_p u(1,0)=u(1,0) \)
\( \Pi_p u(0,1)=u(0,1) \)
\( \Pi_p u(1,1)=u(1,1) \)
\( \| \left( \Pi_p u \right)' -u' \|_{H^1(\hat{K})}\rightarrow min \)
gdzie \( \| \left( \Pi_p u \right)' -u' \|_{H^1(\hat{K})} = \int_{\hat{K}} \left( \left( \Pi_p u \right)' -u' \right)^2 d\xi_1d\xi_2 \) to seminorma w przestrzeni Sobolewa \( H^1(\hat{K}) \).